Games101-2-变换，对应Games101第三、四节课

Games101现代计算机图形学入门-3

线性变换

缩放

切变

旋转

旋转-a角度的矩阵就是旋转a角度的转置矩阵，也是逆矩阵

仿射变换（齐次坐标）

为了解决平移变换不能简单写成矩阵相乘 x’= Mx

向量具有平移不变性，因此向量最后是0

在齐次坐标下，点+点表示这两点的中点

逆变换对应逆矩阵

变换的组合

三维变换

对这种矩阵来说，是先线性变换后仿射变换

三维旋转

基于右手螺旋定则，y由z叉乘x得到，固正好相反

罗格里德斯旋转公式

视图变换

确定相机位置

将任意向量旋转到标准轴困难，故做逆操作，将标准轴转到任意向量，之后对旋转矩阵做逆变换，恰好旋转矩阵是正交矩阵，其逆矩阵就是转置矩阵。

投影变换

正交投影

透视投影

推导思路：先将Frustum挤压成一个长方体，之后再做一次正交投影

推导过程：

在unity等游戏引擎中，需要在做完投影矩阵变换之后再进行 透视除法，才能将顶点变换到 归一化设备坐标 NDC（Normalized Device Coordinates） 。而在数学中点（x, y, z, w）和（x/w, y/w, z/w, 1）是完全一样的，我们也就认为进行完投影变换后，变换就结束了。

在实际计算中点（x, y, z, w）和（x/w, y/w, z/w, 1）虽然只是写法不同，但是会影响后续计算，所以需要将所有的（x, y, z, w）进行归一化变为（x/w, y/w, z/w, 1），这一步操作叫做 透视除法，在渲染流水线中在顶点着色器输出之后进行。

视锥

aspect ratio: 宽高比（观测角度）
Field of View(fovY): 可视角度

总结

homework0

代码

// 给定一个点 P=(2,1), 将该点绕原点先逆时针旋转 45◦，再平移 (1,2), 计算出变换后点的坐标（要求用齐次坐标进行计算）。
// 定义点P
Eigen::Vector3f p(2.0f, 1.0f, 1.0f);
// 旋转矩阵
Eigen::Matrix3f rotation;
rotation <<
   std::cos(45.0 / 180.0 * acos(-1)), -std::sin(45.0 / 180.0 * acos(-1)), 0,
   std::sin(45.0 / 180.0 * acos(-1)), std::cos(45.0 / 180.0 * acos(-1)), 0,
   0, 0, 1;
// 平移矩阵
Eigen::Matrix3f trans;
trans <<
   1, 0, 1,
   0, 1, 2,
   0, 0, 1;
// 变换
std::cout << trans * rotation * p;

重点关注点，向量和矩阵定义的方法

homework1

代码

// get_model_matrix(float rotation_angle)

   Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity();

   float angle = rotation_angle / 180.0f * 3.14;
   float c = cosf(angle);
   float s = sinf(angle);
   Eigen::Matrix4f rotation;
   rotation <<
      c, -s, 0, 0,
      s, c, 0, 0,
      0, 0, 1, 0,
      0, 0, 0, 1;
   model = model * rotation;


// get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio, float zNear, float zFar)

   float n, f, t, b, r, l;
   t = abs(zNear) * tanf((eye_fov * 3.14 / 180.0) / 2);
   r = aspect_ratio * t;
   b = -t;
   l = -r;
   n = -zNear;
   f = -zFar;

   Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();

   Eigen::Matrix4f trans, scale, p2o, prep;
   trans <<
      1, 0, 0, -(r + l) / 2,
      0, 1, 0, -(t + b) / 2,
      0, 0, 1, -(n + f) / 2,
      0, 0, 0, 1;
   scale <<
      2 / (r - l), 0, 0, 0,
      0, 2 / (t - b), 0, 0,
      0, 0, 2 / (n - f), 0,
      0, 0, 0, 1;
   p2o <<
      n, 0, 0, 0,
      0, n, 0, 0,
      0, 0, n + f, -(n * f),
      0, 0, 1, 0;

   projection =  trans * scale * p2o * projection;